먼저 방향도함수의 개념은 쉽게 말해 순간기울기를 구하는 도함수입니다!

그런데 2차원에서 배운 도함수하고는 약간 다릅니다. 

아래 그림을 봅시다

2차원 상에서 그래프가 있을 때 기울기란 y의 변화량을 x의 변화량으로 나눈 것이며 여기서 극한을 취해 순간 기울기를 구할 수 있습니다.

위 그래프는 다음과 같은 원 방정식으로 표현됩니다.

위 그래프에서 볼 수 있듯이 원 위에 한 점에서 순간 기울기는 하나뿐이라는 사실을 쉽게 알 수 있습니다.

그런데 위와같이 3차원 구를 생각해봅시다

위 구의 수식은 다음과 같습니다.

그러면 2차원 원 그래프에서 보았듯이 여기서 B에 접하는 접선은 2차원 마냥 한개 밖에 없을까요?

구에서 점 B에 접하는 접선은 무수히 많기 때문에 평면을 이루게 됩니다.

따라서 특정 접선을 선택하고 싶으면 다른 방법을 써야합니다.

그런데 잘 생각해봅시다 2차원 그래프에서 순간 변화율을 구하기 위해선 특정 점에서 아주 약간의 값을 변화시킨 그래프 위의 점... 예를 들어 함수 f(x)의 점 (x,f(x))에서의 기울기를 알고 싶다면 (x+h, f(x+h))라는 새로운 점을 이어 h를 0으로 극한을 취하여 구했습니다.

그렇다면 3차원 그래프에서도 그 방법이 먹히지 않을까요???

이번엔 파랑색 평면을 추가했습니다. 파랑색 평면은 하늘색 평면과 수직합니다. 

접평면인 하늘색 평면을 제거해봅시다

여기서 파랑색 평면과 구의 겉껍질이 겹치는 부분을 C라고 하겠습니다.

구와 파랑색 평면이 겹치는 영역 C를 잘 생각해봅시다 순간기울기는 2차원에서 "함수 f(x)의 점 (x,f(x))에서의 기울기를 알고 싶다면 (x+h, f(x+h))라는 새로운 점을 이어 h를 0으로 극한을 취하여 구했습니다." 라는 언급을 하였습니다.

3차원에서도 그 방법을 써보죠

B에서 접선을 하나 표현하였습니다. 

그림을 보면 하늘색 삼각형과 하늘색 마커로 칠해져 있는 부분이 보이실 겁니다.

하늘색 삼각형은 C위의 임의의 점 Q를 잡아 점  B와 연결한 것입니다. 하늘색 마커는 삼각형의 밑변을 xy평면에 투사한 것으로 길이를 h라고 합시다.

그러면 점Q가 점 B에 매우 근접해 가면 갈수록 점 B에서 순간기울기와 일치하게 됩니다.

하지만 점 Q는 x,y,z 세가지 변수가 있네요 근대 잘생각해보면 h의 길이를 줄여도 삼각형의 밑변이 줄어드므로 자연스럽게 Q는 B에 가까워 집니다.

따라서 점 B에서 순간 기울기는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

여기서 한가지 핵심은 저 식에서 x와 y를 x_0와 y_0의 수식으로 바꿀 수 있습니다.

그게 가능한 이유는 점 Q와 점 B를 xy에 투사한 벡터 QB는 점 B의 접선의 방향벡터이기 때문입니다.

3차원 공간에서 직선을 구할려면 한점과 단위벡터가 주어지면 구할 수 있죠?

여기서도 마찬가지입니다.

저기서 주황색 벡터가 접선의 단위벡터입니다.

이 벡터를 u라고 정의하면 hu는 하늘색마커로 칠한 Q에서 B로 잇는 선분을 xy에 투사한 벡터입니다.

그러므로 다음과 같이 표현이 가능합니다.

여기서 순간기울기는 특점 좌표에서 특정 방향벡터에서의 기울기를 뜻하며 방향도함수는 벡터를 인자로 가지는 도함수라는 뜻입니다.