최대우도추정(MLE)의 개념은 무엇일까요?

먼저 최대우도추정에 대해 이해하려면 우도의 개념을 알아야합니다.

 

---

 우도(Likelihood) = 가능도

우도의 개념은 책에서 나온 딱딱한 정의로는 머리속에 잘 넣어지지 않습니다.

실제로 복잡한 개념이기 때문에 예를 들어 설명하는게 훨씬 좋습니다.

 

장난꾸러기 짱구는 장난감을 부수는데 천부적인 재능이 있습니다 말 그대로 파괴왕이죠

 

어느날 짱구 아빠는 말성쟁이 짱구가 장난감을 파괴하는데 걸리는 시간을 알아보기 위해 짱구에게 장난감 20개를 주었습니다. 그리고 장난감의 생존(?) 시간을 측정했고 그 결과는 다음과 같습니다.

 

1	4	5	21	22	28	40	42	51	53
58	67	95	124	124	160	202	260	303	363

이때 짱구 아빠는 과연 짱구가 장난감을 파.괴.하.는 평균 시간을 구할 수 있을까요?

 

짱구 아빠의 고민을 덜어주기 위해서 사용되는게 우도함수입니다.

만약 짱구의 장난감 파괴확률이 지수분포를 따른다고 하면 우도함수는 이렇게 적을 수 있습니다.

 

지수분포에서 중요한 인수인 λ를 모르지만 일단 우도함수 λ에 아무 값이나 일단 넣어봅니다 그러면 신기하게 우도함수의 값이 구해지는데 이 값의 정체는 바로 가능성입니다.  바로 지수분포에서 인수 λ가 특정 값일 때 저 위의 파괴 시간들이 나올 가능성을 나타내는거죠 매우 중요하면서 심오한 개념입니다.

 

여기까지 이해하셨으면 드디어 최대우도함수의 개념을 이해할 수 있습니다. 위에서 보다 싶이 지수분포의 우도함수 값은 λ에 의해 결정됩니다. 그러면 λ값을 계속 바꿔보면 가능성이 최대가 되는 λ를 구할 수 있지 않을까요??

이 개념이 바로 최대우도함수의 핵심입니다.

그리고 이때 편미분의 개념이 사용됩니다.

생각해봅시다 만약 평균 파괴시간 λ값이 10이라고 하면 λ가 10에서 멀어지면 멀어질수록 저 측정결과 값들이 나올 가능성이 낮아지겠죠? 그리고 10에 가까우면 가까울수록 가능성을 커지고요

그러면 우도함수 자체는 극댓값 하나뿐인 함수가 됩니다.  

따라서 λ에 대해 편미분을 하고 그냥 0에 맞추는 λ값을 찾으면 그게 우도함수가 극댓값이 되는 λ값이란소리죠

 

위에서 우도함수에서 로그를 취해주는 이유는 그게 훨씬 계산이 편리하기 때문입니다.

 

그러면 이참에 짱구의 평균 장난감 파괴시간을 알아내어 짱구 아빠의 고민을 풀어주도록 합시다.

 

따라서 짱구는 장난감 한 개 파괴하는데 평균 101.15시간이 걸린다는 것을 알 수 있습니다.